使用全概率公式计算条件概率

公式

先给出公式，然后证明。

$$ P(A|B) = \sum_{i=1}^n P(A|B,C_i) \cdot P(C_i|B) $$

$$ p(x|y) = \int p(x|y,z) \cdot p(z|y)dz $$

证明

这里以离散概率为例进行证明，连续型与之类似。

\begin{equation}\begin{split} P(A,B) &= \sum_{i=1}^n P(A,B,C_i)\\ &= \sum_{i=1}^n P(A|B,C_i) \cdot P(B,C_i)\\ &= \sum_{i=1}^n P(A|B,C_i) \cdot P(C_i|B) \cdot P(B) \end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split} P(A|B)&= {P(A,B) \over P(B)}\\ &= {{\sum_{i=1}^n P(A|B,C_i) \cdot P(C_i|B) \cdot P(B)} \over P(B)}\\ &= \sum_{i=1}^n P(A|B,C_i) \cdot P(C_i|B) \end{split}\end{equation}